2024 年重庆预赛

解答

设 $z=x+iy\ne 0$，则

实部为零等价于 $x=0$ 或 $x^2+y^2=4$。但原式要求 $z\ne 0$，且纯虚数不含零。由 $z-4/z=0$ 当且仅当 $z=2$ 或 $z=-2$，实际轨迹还须从上述并集中删去 $0,2,-2$ 三点。虚轴上的最优点 $z=i$ 与圆上的最优点 $z=\sqrt{2}(1+i)$ 均未被删去；后者满足 $z-4/z=2\sqrt{2}i\ne 0$，所以仍可合法取得对应距离。点 $1+i$ 到虚轴的最短距离为 $1$；其模为 $\sqrt{2}$，故它到圆 $|z|=2$ 的最短距离为 $2-\sqrt{2}$。比较得