培玉 · 一试
2024 年江西预赛
F2填空题直线与圆
平面上同时和三直线
相切的所有圆的半径的乘积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
三条直线围成直角三角形；与三条所在直线都相切的圆对应内切圆和三个旁切圆。
解答
三直线的交点为
三边长依次为 ，所以这是面积为 、半周长为 的直角三角形。其内切圆半径与三个旁切圆半径分别为
所有半径的乘积为
复核
圆心必须同时位于两两直线夹角的角平分线上，故只有一个内心与三个旁心，没有其他圆。
方法总结
三条不共点直线的公共切圆通常应同时考虑内切圆和三个旁切圆，而不只计算三角形内的一个圆。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
三条直线形成3-4-5三角形，关键是将全部公切圆完整列为一内切和三旁切，再逐一算半径。
已记下，谢谢！