培玉 · 一试

专题地图 › 不等式的证明

2010 年山西预赛 · 第 10 题

F2解答题不等式的证明

设 $x_{i} \geq 0$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，约定 $x_{n + 1} = x_{1}$ ，证明：

k = 1 \sum n \frac{1}{( x _{k} + 1 ) ^{2}} + \frac{x _{k + 1}^{2}}{( x _{k + 1} + 1 ) ^{2}} \geq \frac{n}{2} .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

把倒数变量与其补量配成相邻平方和根式，逐项估计后利用循环指标使线性项恰好合并。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：柯西不等式与投影、裂项相消

专题卡：平方和与线性式、分式和互相估计：用柯西不等式、循环式、连乘、绝对差：分组、消项或排序后估计