同一骨架 2014 年黑龙江预赛 第 12 题 · P010214
两题都把向量线性组合化为一个固定方向的投影，并利用圆或球相对中心的半径限制求范围。
四面体题先通过重心识别球面；梯形题沿对角线法向投影，且动点区域的开放边界影响端点能否取得。
培玉 · 一试
2025 年四川预赛
正四面体中的空间向量最值
F2填空题向量的数量积与几何意义
正四面体 的棱长为 ，空间动点 满足
则 的最大值与最小值之差为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
四个顶点向量之和提示引入四面体重心。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
题设随即化为以重心为球心的球面，而待求量是球面上一点的线性函数，可由柯西不等式直接确定振幅。
解答
设正四面体的重心为 ，则
故题设等价于 。又
其中 为常数，而
由于 、，上下界分别在 与 反向、同向时取得。因此最大值与最小值之差为
复核
球面上确实存在从 沿 的正、反方向各取距离 的点，所以两个端点都可达到；常数项在作差时完全消去。
方法总结
多个定点到动点的向量和可用这些定点的重心化简。在线性目标下，球面约束只控制可变向量的长度，最大、最小值分别对应与固定方向同向、反向。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
向量和直接变为4PG，动点轨迹是单位球面；目标中的常数项在最大最小差中消去。
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