易混 2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 6 题 · P007299
同样出现方程与复数根，起点却取决于系数和所求根所属的数域。实系数且根非实时可配共轭根；复系数要求实根时，应代入实未知量后联立实部、虚部，不能直接凭判别式的正负判实根。
前题用共轭性把根的模联系到乘积；后题的系数随复参数变化，必须保留虚部为零产生的全部分支。
培玉 · 一试
2025 年福建预赛
共轭虚根模长和确定参数
F2填空题复数的概念与运算
若 是关于 的方程
的两个虚数根，且 ，则实数 的值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
方程的系数都是实数，因此两个非实根互为共轭复数，它们的模相等；再用根的乘积即可直接确定参数。
解答
因为 是实系数二次方程的两个虚数根，所以
由 ，得 。又由韦达定理，
另一方面，，故 ，从而
复核
当 时，方程为 ，判别式为 ，两根确为虚数根； 两根的模均为 ，模长之和为 。
方法总结
实系数方程的非实根成共轭对。遇到两根模长之和时，可先用共轭性得到模长相等， 再把 与韦达定理结合。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由实系数非实根共轭把模长和转成根积，再代回判别式验证即可。
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