2018 年中科大少年班初试 · 第 10 题

解答

模 $x^2+ax+b$ 有 $x^2\equiv -ax-b$，故

整除当且仅当这两个系数均为0。若 $a=0$，得 $b(b+1)=0$，所以 $b=0,-1$。若 $a\ne 0$，则 $2b=a^2+a$；其中 $b=0$ 时给出 $a=-1$，而 $b\ne 0$ 时还须 $b=a^2+a-1$。两式合并得 $a^2+a=2$，故 $a=1,-2$，此时 $b=1$。 因此全部多项式为

这些系数对均使余式两个系数为0，所以也都充分。