2026 年中科大少年班营一 · 第 4 题

解答

记 $F_n(t)={\sum }_{k=1}^n{t}^k$。它在正半轴连续且严格递增，$F_n(0)=0,F_n(1)=n>1$，故有且仅有一正根 $x_n\in (0,1)$。又 $F_{n+1}(x_n)=1+x_n^{n+1}>1$，所以 $x_{n+1}<x_n$。因 $F_n(1/2)=1-2^{-n}<1$，下界严格成立。令 $u=1/(2-a^n)$。由 $a^2+a=1$ 及 $n\ge 2$，有 $1/2<u\le 1/(2-a^2)=a<1$。又 $2u-1=a^{n}u$，所以 $F_n(u)-1=(2u-1-u^{n+1})/(1-u)=u(a^n-u^n)/(1-u)\ge 0$。单调性给 $x_n\le u$，即 $\boxed{1/2<x_n\le 1/(2-a^n)}$，连同上述单调性完成三问。