2025 年中科大少年班营二 · 第 2 题

解答

设正四面体顶点的单位向量为 $v_1,\dots ,v_4$。由对称性，向量和为零且任意两个不同向量的内积同为 $c$。因此 $0=|v_1+\cdots +v_4{|}^2=4+12c$，得 $c=-1/3$，棱长平方为 $|v_i-v_j{|}^2=2-2c=8/3$。

（i）固定第一个端点为北极，第二端点 $B$ 在单位球面均匀分布。令其高度为 $z$，弦长平方为 $2-2z$，所以目标事件为 $z<-1/3$。单位球面高度为 $dz$ 的纬带面积为 $2\pi dz$，故 $z$ 在 $[-1,1]$ 上均匀，所求为

（ii）令弦中点到圆心的距离为 $r$。弦长为 $2\sqrt{1-r^2}$，目标条件为 $4(1-r^2)>8/3$，即 $r<1/\sqrt{3}$。题设中点在一条固定半径上按长度均匀，故 $r$ 在 $[0,1]$ 上均匀，概率为