易混 2025 年上海预赛 · P006371
两题都出现全实轴上的符号要求，但连接方式不同。绝对值比较平方后的乘积，要分析两个因子的负值区间如何配合；“至少一个成立”则要求两个真值集合的并集覆盖全域，不能当作乘积或两式同时成立。
前题首一二次因子的负区间若重合须进一步核是否同一多项式；后题先由简单指数条件覆盖一个半轴，再研究另一式在补集上的严格符号。
培玉 · 一试
2025 年内蒙古预赛
绝对值二次式恒成立的参数范围
F3填空题解不等式
已知不等式
对任意 恒成立，则 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两边均非负，可以安全平方并分解成两个首项系数为正的二次式之积。
思路
要使乘积处处非负，两个二次式都不能拥有负值区间；否则负值区间必须完全相同，但两式并不相同。
解答
原不等式平方后等价于
即
其中
若某一个 有两个不同实根，它在两根之间为负。为了使乘积处处非负，另一个二次式 也必须恰在同一开区间内为负；交换二者可知两个负值区间必须完全相同，从而两个首一二次式 应有相同的两根并完全相同。这与
矛盾。若只有一个二次式有负值区间，乘积同样会在该区间内为负。因此必须且只需 均恒非负，也就是
两区间取交集，得到
复核
在所得区间内两个二次式的判别式都不大于零，且首项系数为正，所以乘积恒非负，充分性成立。 两个端点分别允许某个二次式有重根，不会破坏非负性。
方法总结
绝对值两边同为非负量时可平方。平方差分解后，若得到两个开口向上的二次式之积恒非负， 应比较它们的负值区间；除非区间完全重合，否则最稳妥且必要的情形通常是两式各自恒非负。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
难点是证明两首一二次式的乘积恒非负时它们必须各自非负，需排除负值区间相同的例外。
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