2008 年山西预赛 · 第 3 题

解答

设锥高为 $h$，顶点在底面射影为 $O$。四侧面均与底面成六十度，所以 $O$ 到四条底边直线的距离都为 $h/\sqrt{3}$。对每一对平行边等距的点在其中间线上，故 $O$ 为菱形中心，记内切圆半径为 $\rho =h/\sqrt{3}$。题给内部点到底面距离为一，记其高为一；对每对相对侧面，它在内部的两有向距离相等，故其水平投影也在两中间线，仍为 $O$。轴上高一的点到任一侧面距离为 $(h-1)\cos 60^{\circ }$，所以 $(h-1)/2=1$，得 $h=3,\rho =\sqrt{3}$。设菱形边长为 $a$，有 $\rho =a\sin 60^{\circ }/2$，从而 $a=4$，底面积 $8\sqrt{3}$。故 $\boxed{V=(8\sqrt{3})\cdot 3/3=8\sqrt{3}}$，选 C。