同一骨架 2025 年上海预赛 · P006375
两题的最近整数都由半整数边界决定。固定输出整数后，把根式区间还原为原下标的整数区间，数完整组与最后截断组，才能准确累计长和式。
平方边界给整齐的组长；立方边界的小数部分还带周期修正。连续区间长度不能直接当成整数点个数，分组并列也须先排除。
培玉 · 一试
2025 年江西预赛
立方根最接近整数的倒数和
F3填空题数列的和
对于正整数 ， 表示与 最接近的整数（例如 ），则
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
按最近整数 分组。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
每一组对应两个半整数立方之间的整数点；组长的微小周期 修正只在 是 的倍数时出现。
解答
由于半整数的立方不是整数，不会出现距离相等的歧义，并且
展开有
考察两个端点的小数部分（以 模 分类）可得，该区间内整数的个数为
又
所以 恰好包含 的完整分组， 共 项都满足 。于是
复核
前七组共有 个整数，其中额外的 来自 ； 这与完整分组的末项 一致。
方法总结
“最接近整数”序列可按半整数边界分块。边界多项式的小数部分若周期出现， 分块长度也会带周期修正，求和时应单独计入。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是按a_n=k反向划分半整数立方之间的n，再区分完整组与末尾截断组；各组边界和整数数目随后可直接计算。
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同一骨架 2022 年浙江预赛 · P006919
两题都先数一个取值块内有多少下标，再把完整块与末尾不足一块分开累计。区别在于块是否等长：互质条件有固定模周期，最近整数的幂根分块则会随取值变化，并带端点小数的修正。
固定周期的“商与余数”不能照搬给增长的分块长度；后一题还要把每块的贡献乘上本块取值对应的权。
已记下，谢谢！