培玉 · 一试

专题地图 › 数论

2012 年陕西预赛 · 第 3 题

F2填空题数论

对于正整数 $n$ ，若 $n = pq$ （ $p \geq q$ ， $p, q \in N^{*}$ ），当 $p - q$ 最小时，我们称 $pq$ 为 $n$ 的“最佳分解”，并规定 $f (n) = \frac{q}{p}$ 。例如， $12$ 的分解有 $12 \times 1, 6 \times 2, 4 \times 3$ ，其中 $4 \times 3$ 为 $12$ 的最佳分解，则 $f (12) = \frac{3}{4}$ 。关于 $f (n)$ ，有下列四个判断：

\overset{◯}{1} f (4) = 0 ； \overset{◯}{2} f (7) = \frac{1}{7} ； \overset{◯}{3} f (24) = \frac{3}{8} ； \overset{◯}{4} f (2012) = \frac{4}{503} 。

其中，所有正确判断的序号是。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

需理解最小因子差等价于接近平方根，逐项找最佳分解，较大数还须确认剩余因子的素性。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：配成乘积，枚举因数对

专题卡：添项配积与因数配对