2016 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

抛物线焦点为 $(1,0)$，故为 $y^2=4x$。设椭圆长半轴平方为 $u$，则短半轴平方为 $u-1$。代入交点得 $9/(4u)+6/(u-1)=1$，即 $4u^2-37u+9=0$；由 $u>1$ 取 $u=9$，所以 $\boxed{C_1\text{ 所在椭圆为 }{x}^2/9+y^2/8=1,C_2\text{ 所在抛物线为 }{y}^2=4x}$。按题图，所取椭圆弧为 $x\le 3/2$ 的部分，抛物线弧为 $|y|\le \sqrt{6}$。写焦点直线 $x=1+my$。不垂直横轴给 $m\ne 0$；两抛物线端点均在弧内且四点不同，恰给 $0<|m|<1/(2\sqrt{6})$，椭圆两端也落在图示弧内并保持所述次序。抛物线弦长为 $CD=4(1+m^2)$，$F_1$ 到直线的距离为 $2/\sqrt{1+m^2}$，所以面积为 $4\sqrt{1+m^2}$，得到 $\boxed{S_{CD{F}_1}\in (4,5\sqrt{6}/3)}$。又由两组根和、根差可得 $G{F}_2=2|m|\sqrt{1+m^2}$，$H{F}_2=8|m|\sqrt{1+m^2}/(9+8m^2)$，$BE=48(1+m^2)/(9+8m^2)$，代入即得 $\boxed{BE\cdot G{F}_2/(CD\cdot H{F}_2)=3}$。