2024 年上海预赛

思路

离散正交性来自等比数列求和：若n不整除k，则 ${\sum }_{j=0}^{n-1}{e}^{2\pi ikj/n}=0$。n≥5时频率0、±1、±2互异，乘以共轭频率可逐个提取系数。

想法从哪来：先分开“能构造”和“不能存在”：三、四边形可借助椭圆的轴对称直接找，较多顶点才需要统一排除。正多边形的所有顶点也在一个圆上，因此可把它们写成某个圆心加同半径的等距角参数。代入椭圆二次式后只会出现零次、一次和二次角频率，这是次数低的关键信息。对至少五个等距角点，分别乘相应的正弦或余弦后求和，各种频率互相抵消，逼出一次和二次系数都为零；而非圆椭圆的二次各向异性无法消失。小边数的频率会重叠，不能拿同一排除论证覆盖，必须保留先前实际构造。

先构造正三角形和正方形；对 $n\ge 5$，把正多边形顶点代入二次曲线，利用离散傅里叶频率 $0,1,2$ 不会混叠。