同一骨架 2021 年广西预赛 · P006979
两题都把双变量的乘积或和式改写成和角、差角或半和半差的少量三角量。关键是同时使用两条条件，让和与差的信息闭合，再在原范围内恢复解或直接恢复目标。
根式题先靠定义域保证角代换的非负分支，并需枚举和差组合；正弦和余弦和题可直接求目标乘积，但仍须核分母与符号。
培玉 · 一试
2026 年吉林预赛
F3填空题三角恒等变形
关于 的方程组
共有组解。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
四个根式正好对应 的乘积。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
先由根式定义域推出 ，再令 ， 方程组就化为一个和角正弦与一个差角余弦。
解答
四个被开方数均须非负。由 及 可排除 ； 再结合另外两个不等式可排除 。对 同理，故
令
原方程组化为
记
于是
四种组合均满足 ，分别给出
所以共有
组解。
复核
把四组解逐一代回，两个等式分别得到 与 。角和在 、 角差在 ，上述正弦和余弦方程的分支已经穷尽。
方法总结
当根式方程同时出现 时， 可在确认 后作平方正弦代换，把根式和转成和角、差角公式； 最后必须结合角的范围枚举全部分支。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需先严格推出x、y在[0,1]，选择平方正弦换元统一四个根式，再按角和与角差的全部分支检查解数。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！