易混 2010 年湖北预赛 第 8 题 · P010860
圆周问题可以把局部信息重新计入全局，但所选计数单位要贴合目标。边长总和适合按跨越的分界线重计数；单个数的上界则可从避开它的连续整块求和得到。锐利界之后还要检查首尾闭合处。
前题是互异整数排列，每个顶点的度数限制各割的跨界边数，并用交错顺序达到界；后题不加整数或正数假设，只把其余位置拆成已知局部和的块，再核跨切口条件。
培玉 · 一试
2024 年福建预赛
F3填空题组合计数综合
若 是 的一个排列，则
的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把每条边的长度分解成它跨过的整数分界线数目；对每条分界线，循环中跨界边数由较小一侧的顶点度数控制。
解答
把排列首尾相接看成一个圈。对 ，记 为圈上连接 与 的边数。由于圈上每个顶点的度数为 ，
每条边 恰好跨过 这些分界线，故
排列
首尾相接时直接求和得到 。所以最大值为
复核
上界逐条统计了每条圈边所跨的全部分界线，没有重复或遗漏；给出的排列包含 至 各一次，确实达到上界。
方法总结
排列的绝对差总和可按割集重计数：边长等于跨过的割数，而每个割的跨界边数由小侧顶点的总度数给出统一上界。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键转化是每条边长等于跨越整数分界线数，由每点度数2逐界估计；大小交错排列验证达到全部界。
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