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2011 年陕西预赛 · 第 10 题
F2填空题函数综合
现代社会对破译密码的要求越来越高。在密码学中,直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码将英文的 26 个字母 a,b,c,…,z(不论大小写)依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数,见下表:
a1b2c3d4e5f6g7h8i9j10k11l12m13n14o15p16q17r18s19t20u21v22w23x24y25z26
给出明码对应的序号 x 和密码对应的序号 y 的变换公式:
y=⎩⎨⎧2x+1,2x+13,x 为奇数,且 1≤x≤26,x 为偶数,且 1≤x≤26.
利用它可将明码转换成密码,如 5↦25+1=3,即 e 变成 c;8↦28+13=17,即 h 变成 q。按上述公式,若将某明码译成的密码是 shxc,那么,原来的明码是。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:love
解析
思路
分别确定奇数编号、偶数编号编码后的范围,这两段互不重叠,因而可以直接反解每个密码字母。
解答
奇数编号 x 给出 1≤y≤13,反解为 x=2y−1;偶数编号给出 14≤y≤26,反解为 x=2(y−13)。密码 shxc 的编号依次为 19,8,24,3,相应明码编号为 12,15,22,5,对应字母 l,o,v,e。所以明码是 love。
复核
把结果正向编码:12↦19,15↦8,22↦24,5↦3,恰好还原 s,h,x,c。两条逆公式在各自范围内均产生 1 至 26 的正确奇偶编号,没有重解。
方法总结
有限分段编码先检查各支像集是否重叠,再按像集选择逆公式,最后正向回验。
为什么评为 F2(会透露解法方向)
编码奇偶分支的像不重叠,按密码序号反解对应原序号并逐字回编码验证。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:反求全部合法输入并筛选
专题卡:定义在整数上的函数:整数之间有空隙,用它把函数值夹住