2012 年河北预赛（高二卷） · 第 11 题

解答

$n=1$ 给 $a_1=1$，再由 $S_2=3$ 得 $a_2=2$。对 $n\ge 3$，相邻两个部分和式相减得 $(n-2)a_n=(n-1)a_{n-1}-1$，亦即 $(n-2)(a_n-1)=(n-1)(a_{n-1}-1)$。从 $a_2=2$ 归纳得 $\boxed{a_n=n}$。于是 $c_{2j-1}=2j$，$c_{2j}=3\cdot 2^{2j-1}+1=6\cdot 4^{j-1}+1$。按奇偶配对求和，$T_{2n}={\sum }_{j=1}^n(2j+1)+6{\sum }_{j=1}^n{4}^{j-1}$，所以 $\boxed{T_{2n}=2\cdot 4^n+n^2+2n-2}$。