2010 年黑龙江预赛 · 第 17 题

解答

由 $b=a\cos C+c\cos A$ 与条件 $b=a\cos C+c/2$，得 $\cos A=1/2$，所以 $\boxed{A=\pi /3}$。$a=1$ 时，令 $p=b+c$，有 $1=p^2-3bc$，所以 $bc=(p^2-1)/3$。三角不等式和 $bc\le p^2/4$ 给 $1<p\le 2$。面积为 $\sqrt{3}bc/4$，故所求内切圆半径 $R=2S/(1+p)=\sqrt{3}bc/[2(1+p)]=\sqrt{3}(p-1)/6$。因此 $\boxed{R_{\max }=\sqrt{3}/6}$，在 $p=2,b=c=1$ 时取等。