2008 年黑龙江预赛 · 第 8 题

解答

设半焦距为 $c$，则等边三角形的顶点可取 $(0,\sqrt{3}c)$，边 $M{F}_1$ 中点为 $(-c/2,\sqrt{3}c/2)$。代入双曲线得到 $c^2/(4a^2)-3c^2/(4b^2)=1$。令 $t=e^2>1$，并用 $b^2/a^2=t-1$，得 $t/4-3t/(4(t-1))=1$，化为 $t^2-8t+4=0$。合法根为 $t=4+2\sqrt{3}$，所以 $\boxed{e=\sqrt{3}+1}$，选 D。