2013 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

令 $x=a+1$、$y=b+1$、$z=c+1$、$w=d+1$，则四数均非负且 $x+y+z+w=4$。原式化为

把 $(a,b,c,d)$ 倒序不改变原式和约束，相应交换 $x,w$ 及 $y,z$，所以不妨设 $y\ge z$。 由 $w\ge 0$，有 $xy+zw\le y(x+w)=y(4-y-z)$，故

当 $(x,y,z,w)=(5/2,3/2,0,0)$，即 $(a,b,c,d)=(3/2,1/2,-1,-1)$ 时，所有约束成立且原式为 $5/4$。 因此最大值为 $\boxed{\frac{5}{4}}$。