2021 年重庆预赛

思路

支撑多项式法是在变量合法区间上构造逐项非负的低次多项式；端点因子控制符号，平方因子提供内部取等点。

想法从哪来：已知前两阶矩而求三阶矩，先不要假设变量非负；它们可以有一个较大的负数，正是最小值的关键。固定一个变量，对其余变量用柯西，便从总和与平方和推出单个变量的精确下界。若猜取等数组由一个下端值和若干相等值组成，应寻找一个在整个合法区间非负、在这两值处为零的三次多项式。用端点因子乘一个平方就能做到，展开求和后，一次与二次项都由题设固定，只剩想要的三次项。等号要求每个变量都落在两个零点，代总和就能确定端点出现次数，最后直接验平方和。

先由前两阶矩限制每个 $x_i$ 的范围，再构造在该范围上非负的三次多项式，使求和后只留下已知的一、二次矩。