2008 年河南预赛 · 第 4 题

解答

记 $r=FA,s=FB$。由焦准线等距，$M{M}^{\prime }=(r+s)/2$。夹角为一百二十度，余弦定理给 $A{B}^2=r^2+s^2+rs=(r+s{)}^2-rs$。所以比值是 $1/(2\sqrt{1-rs/(r+s{)}^2})$。因 $rs/(r+s{)}^2\le 1/4$，比值不超过 $1/\sqrt{3}$。取 $A=(3,2\sqrt{3}),B=(3,-2\sqrt{3})$，两焦半径相等且夹角确为一百二十度，达到上界。因此最大值为 $\boxed{\sqrt{3}/3}$，选 B。