2008 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

（1）取 $O$ 为原点、长轴为横轴，令 $A=(2,0),C=(u,v),B=(-u,-v)$。点积条件给 $u^2+v^2=2u$，长度条件给 $u^2+v^2=(u-2{)}^2+v^2$，所以 $u=1,v^2=1$。调整纵轴正向可取 $C=(1,1),B=(-1,-1)$，代入椭圆得到 $b^2=4/3$。因此 $\boxed{x^2/4+3y^2/4=1}$。（2）角平分线垂直长轴，即竖直。对所述非退化角，两条割线斜率可记为 $k,-k$。设 $X=x-1$，将 $y=1+kX$ 代入椭圆得 $X((1+3k^2)X+2+6k)=0$。去掉已知点 $C$，另交点横向增量分别为 $X_P=-(2+6k)/(1+3k^2)$、$X_Q=-(2-6k)/(1+3k^2)$。于是 $x_P-x_Q=-12k/(1+3k^2)$，$y_P-y_Q=k(X_P+X_Q)=-4k/(1+3k^2)$，故 $PQ$ 斜率为 $1/3$，与 $AB$ 相同。因此存在实数 $\lambda$ 满足 $\boxed{\overrightarrow{PQ}=\lambda \overrightarrow{AB}}$。