易混 2011 年辽宁预赛 第 13 题 · P009394
根式或代换得到圆弧方程后，还要保留原式的符号限制；完整圆上的判别式条件可能把不属于原题的交点也算进去。可行弧与取等点需分别回验。
前题先留住平方前的非负条件，再用半圆根式控制一个变量；后题指数变量本来为正，只能取圆的一段，切线条件之外还要检查边界交点。
培玉 · 一试
2024 年广西预赛
F3填空题不等式的证明
若正实数 满足 ，则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
令 ，平方后把 视为关于 的二次方程。
解答
令 。原式要求 ，平方得
较大的根为
令 ，则
等号在 ，即 时成立，此时 确实满足原式。故最大值为 。
复核
等号点有 ，没有由平方引入增根。
方法总结
根式方程平方前要保留非负条件；出现线性项加圆弧根式时可用柯西不等式求极值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需把根号y作为变量解出较大x分支，平移后识别圆弧上线性表达式的界，并回代检查平方合法。
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