2015 年天津预赛 · 第 10 题

解答

记 $S_N={\sum }_{k=1}^{N}k{2}^k$，错位相减得 $S_N=(N-1)2^{N+1}+2$。故 $s=2014\cdot 2^{2016}+2$。对指数 $r\ge 2$，因 $2^{20}-1$ 被二十五整除且 $2^r$ 被四整除，$2^{r+20}\equiv 2^r(\mathrm{mod}100)$。所以 $2^{2016}\equiv 2^{16}\equiv 36(\mathrm{mod}100)$，最终 $s\equiv 14\cdot 36+2\equiv \boxed{6}(\mathrm{mod}100)$。