2021 年广西预赛

解答

令 $r=|\vec{m}|>0$，$s=|\vec{m}-\vec{n}|>0$。由 $|\vec{n}|=1$ 及夹角为 $60^{\circ }$，

把它看成关于 $s$ 的二次方程，其有实根的必要条件为

即 $r\le 2/\sqrt{3}$。反之，对每个 $0<r\le 2/\sqrt{3}$，该方程至少有一个正根 $s$，从而可构造满足条件的两个向量；端点 $r=2/\sqrt{3}$ 也能取到。 故最小的统一上界为