2016 年全国高中数学联赛一试 · 第 10 题

解答

令 $b_n=f(1/n)$，其中 $n\ge 1$，则 $b_1=1$。在给定关系中取 $x=-1/n<0$，由奇性得

由此归纳得到 $b_n=1/(n-1)!$。所求和为

由于 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{99}{j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{99}{99-j}\right)$，指标 $0,\dots ,99$ 恰分成 $50$ 对，每对各有一项落在 $0,\dots ,49$ 中，因此

故所求值为 $\boxed{2^{98}/99!}$。