2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 9 题

复核

q=−1/2时首项1/2、第二项−1/4，两个无穷和均为1/3；q=0、±1均不允许，不能添上0或2。零数列按等比数列标准非零项定义不属于题设。

自写例证：从有限和核验幂的边界。 记前 $n$ 项和为 $T_n$、前 $n$ 个平方项之和为 $U_n$。有限等比求和给

这里余项仅含固定两个底数 $q$、$q^2$ 的幂；由 $0<|q|<1$，二者的 $n$ 次幂都趋零，负公比也一样。若误添 $q=1$ 或 $q=-1$，相应分母消失，部分和也不满足同一收敛论证；$q=0$ 被原题明确排除。以合法的 $q=-1/2$ 作数值例证，$a_1=1/2$ 时两部分和都趋于 $1/3$，其中 $T_n$ 的余项随奇偶变号，$U_n$ 的余项不变号，不能用“变号”直接判发散。这一例证说明先得到有限式，再按底数是否处于单位区间内部检查幂的极限。