培玉 · 一试
2016 年湖南预赛 · 第 7 题
F1填空题解不等式
规定：对于 ，当且仅当 （）时，。则不等式
的解集是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先将取整值作为正整数解二次不等式，再把每个合法整数值对应的左闭右开区间合并。
解答
令 。原不等式等价于
所以 ，允许的整数为 。每个 对应 ，合并得到 。
复核
对应 ，原二次式为 ； 对应 ，二次式为13，应排除。所求区间都在题设有定义的正整数取整区间内，不会涉及 的未定义部分。
方法总结
离散换元须先筛选整数参数，再按取整定义还原连续区间；最后一个区间的右端仍保持开口。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
先以正整数取整值解二次不等式，再将允许的离散值还原为左闭右开的连续区间。
已记下，谢谢！