2022 年甘肃预赛

两题都可把固定条件下的向量模最值解释为到一条直线的距离。先沿直线取最短长度，消去一个自由方向，再对剩余输入或方向条件作判断；等号对应的最短向量必须回到原约束核验。

一个固定可能的零点后让系数在参数直线上变化，再优化该零点；另一个先归一化全称实参数，将最短距离翻译为夹角限制。

两题都先把复数或参数条件整理成一个实线性约束，再用柯西控制向量长度。等号是向量沿约束法向量的最短构型，必须放回全部原条件；多层估计不能只在最后一步取等。

前题先用共同相位旋转固定线性组合并拆实虚向量，后题先固定一个可能零点得到参数直线，再对该零点优化。

两题都把“存在满足条件的根”转成一个实参数，但参数端点是否可取决定值域边界。非实根的虚部不能为零，定模根的实部范围因此是开区间；指定闭区间内的零点则允许在端点取到最优值。

参数化后的二次最值不能自动包含全部边界，须分别验证非实性、原零点区间与其他系数限制。

两题都先保留“存在的那个自变量”，从它给参数的约束提取一个必要最优界，再回头核查等号能否与原条件同时实现。一题使用参数平面中直线到原点的最短距离，另一题配出非负平方；只得到不等式界还不够。

前题需兼顾参数向量方向和自变量区间，后题需同时满足平方为零及辅助函数取最值；两种取等条件都必须实际回代。