培玉 · 一试

专题地图 › 导数的应用

2009 年黑龙江预赛 · 第 20 题

F2解答题导数的应用

已知函数

f (x) = ln (1 + a x) - x^{2} (a > 0, x \in (0, 1]) .

(1)
求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(2)
若不等式
$\frac{1}{n ^{2}} + λ \geq ln (1 + \frac{2}{n})$
对一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

第二问可直接复用第一问a=2的单调性，只需检查最大点对应整数n=2。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用导数或作差看单调性、区分恒成立与存在，求参数范围并验证

专题卡：求单调区间和最值：求导，列符号表，比较所有分点和端点、分离参数与导数统一界