易混 2008 年安徽预赛 第 13 题 · P010444
两题都把一个计数随机变量分成若干组来观察，但能否把各组概率相乘取决于抽样机制。科室分别抽样时可合并独立分布，固定总球数分装盒子时各盒相互制约，必须回到整体等可能分配计数。
分层样本保留每层的抽样数量，装盒问题保留每盒球数与全体颜色总数；只看各组表面相似而假定独立，会得到错误分布。
培玉 · 一试
2017 年黑龙江预赛 · 第 20 题
F2解答题概率
某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况如下表。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查。
| 男 | 女 | |
| 甲科室 | 6 | 4 |
| 乙科室 | 3 | 2 |
- (1)
求从甲、乙两科室各抽取的人数；
- (2)
求从甲科室抽取的工作人员中至少有 名女性的概率；
- (3)
记 表示抽取的 名工作人员中男性的人数，求 的分布列及数学期望。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
按两个科室人数之比分配样本量。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
男性总数是两个独立分层样本中男性数之和，可按甲科室的男性数与乙科室的性别配对。
解答
（1）甲、乙人数分别为 ，分层比例为 ，故从甲抽 、从乙抽 。
（2）甲科室两名样本至少有一名女性的概率为
（3）设甲科室抽中的男性数为 ，则
乙科室抽到男性、女性的概率分别为 。两层抽样独立，故 的分布列为
例如 ，其余同样由互斥的性别搭配相加。于是
复核
分布列的分子和为 。另以指示变量计算期望：甲样本中期望男性数为 ，乙为 ，相加仍为 。层内抽样不放回，不能把甲样本当两次独立的有放回抽样。
方法总结
分层抽样先按层规模分配人数；层内不放回用组合数，层与层之间再相乘、求和。期望可以用指示变量单独核对。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
分层数量、对立事件及分类计数均直接按模型计算，F2。
联系 · 2 条
垫脚石（相关题 → 此题） 2016 年全国高中数学联赛一试 第 4 题 · P014050
先分别在两个组内用无放回组合数计数，再把独立两组的取法相乘；不同类别导致同一总事件时再作互斥求和。
两袋比较剩余金额是一个事件；分层抽样先按人数比例决定层内样本量，再求总男性数的整张分布列。
已记下，谢谢！