同一骨架 2025 年广州预赛 · P006248
两题都把奇性与另一个反射关系合成反周期，再在短循环内分组计算带权和。共同点在变换后函数值的符号规律，而非权重的具体形状。
一个使用一次权重，另一个使用平方权重；完整周期块和尾项仍需分别处理。
培玉 · 一试
2026 年甘肃预赛
反周期函数的加权求和
F2填空题函数的图像与性质
已知定义在 上的函数 满足对任意实数 有：
且当 时，。则
的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两个函数方程分别表示关于 的反对称和关于 的对称。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
复合这两次反射可得到 个单位的反周期，从而只需计算整数点上长度为 的循环。
解答
由条件 ②，把其中的 换成 ，得到
再由条件 ① 可知
因此 。
又因为 ，所以
于是对非负整数 ，
在 中，形如 的数为 ， 形如 的数为 。故
复核
由 可直接推出整数值依次为 。前 项每四项的加权贡献为 ；余下第 项的贡献分别为 ， 与上式一致。
方法总结
遇到多个中心对称型函数方程时，应复合相应的反射变换以寻找周期或反周期。得到短周期后， 带权长和式按完整周期配对，再单独处理尾项。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
两种给定对称关系直接合成f(x+2)=−f(x)，整数值以4为周期，随后按四项分组处理尾项。
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