2011 年辽宁预赛 · 第 15 题

解答

先证明一个圆的代数引理：单位圆上四点的三组对边交点两两点积为一。旋转坐标令第一点为 $(1,0)$，其余三点用参数 $b,c,d$ 写成 $((1-t^2)/(1+t^2),2t/(1+t^2))$。记 $\delta =d-b,w=bcd$，则前两组交点为

直接相乘有

重标四点，即得其余两对。参数无穷的圆上点可由上述交点存在时的连续性得到相同恒等式。一般半径 $R$、圆心 $O$ 的结论为 $(U-O)\cdot (V-O)=R^2$。暂将 $EF$ 中点记为 $M_0$，移到原点，并将 $EF$ 半长缩为一，令 $E=(-1,0),F=(1,0)$。由引理，$M_0$ 对原圆的幂为一，故原圆方程可写为

设 $A=(x,y),C=(z,t)$，记 $L=(u-x{)}^2+y^2$。通过 $E$ 的弦为 $AB,DC$，通过 $F$ 的弦为 $AD,BC$；联立直线与圆，消去 $B,D$，得

这些式子也可由两次使用已知交点的二次方程根积直接得到。展开即有

令 $q=x^2+y^2$。圆 $ECF$ 的方程为

而 $A/q$ 既在原圆上（代入原圆方程，或用原点点幂为一），也满足这个圆方程。因此题中的另一交点 $H=A/q$，故 $A,H,M_0$ 共线，所给交点 $M$ 即 $M_0$，得 $\boxed{ME=MF}$。同理，直线 $MC$ 与原圆的另一交点为 $G=C/(z^2+t^2)$。圆 $EFA$ 的方程是 $X^2+Y^2+(1-q)Y/y-1=0$，代入 $G$ 并利用上述恒等式得零，所以 $\boxed{A,G,E,F\text{ 共圆}}$。