易混 2022 年浙江预赛 · P006911
两题都涉及根处的导数，但根的重数要求相反。求切线斜率倒数时必须为单根，才能以根差乘积作分母；高重根条件则刻意要求低阶导数为零，用它们来确定导函数。
单根导数非零与重根导数为零不能互套，先核表达式是否有定义，再选导数工具。
培玉 · 一试
2026 年内蒙古预赛
三次函数三零点切线斜率倒数和
F2填空题多项式
已知三次函数 的三个零点分别为 ，在三个零点处的切线的斜率 分别记为 ，则它们的倒数和
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
切线斜率就是导数值。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把三次函数按三个互异零点因式分解后，每个导数值都是两个根差的 乘积；三个倒数通分时分子望远镜相消。
解答
题目中的三个倒数有意义，故三个零点互异。设三次项系数为 ，则
因此
其余两式循环类同。于是
最后一步通分后的分子为
故所求为
复核
若某零点为重根，相应切线斜率为 ，题目中的倒数无定义；因此使用互异根分解与约分 完全符合题设的隐含定义域。
方法总结
多项式在单根 处的导数可直接写成首项系数乘以所有根差 。这类倒数和本质上是低次拉格朗日插值系数恒等式， 对三次情形直接通分即可。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按三个根分解三次式，零点导数成为两个根差乘积，三个倒数通分后分子直接望远镜相消。
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同一骨架 2011 年安徽预赛 第 11 题 · P010814
多项式中某些次数的消去，可以藏在函数值的节点组合里，也可以藏在零点处导数的根差权重里。先把这些权重写准确并验证低次项怎样相消，常能避免展开全部系数。
前题先由单根因式分解写出各导数，再通分观察根差相消，倒数合法性是前提；后题直接设计节点线性泛函提取指定系数，利用区间值界后还要验完整取等多项式。
已记下，谢谢！