一试训练题

解答

（1）取 $x=2,y=0$：$f(0)=[f(2){]}^0={\left(\frac{1}{9}\right)}^0=1$。对任意 $x$，在恒等式中令第一个变量为 $2$、第二个变量为 $\frac{x}{2}$：$f(x)=f\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)={\left(\frac{1}{9}\right)}^{x/2}=3^{-x}$。回代：$f(xy)=3^{-xy}=(3^{-x}{)}^y=[f(x){]}^y$，$f(2)=\frac{1}{9}$，成立。（2）设 $x_1<x_2$，则 $\frac{f(x_2)}{f(x_1)}=3^{-(x_2-x_1)}<1$ 且 $f(x_1)>0$，所以 $f(x_2)<f(x_1)$，严格递减。（3）$f(a),f(c)>0$，由均值不等式 $f(a)+f(c)\ge 2\sqrt{3^{-a}{3}^{-c}}=2\cdot 3^{-\frac{a+c}{2}}=2f(b)$，等号当且仅当 $3^{-a}=3^{-c}$，即 $a=c$；已知 $a\ne c$，所以 $\boxed{f(a)+f(c)>2f(b)}$。