培玉 · 一试
2010 年湖南预赛 · 第 2 题
F1选择题向量的数量积与几何意义
关于非零向量 和 有两个命题。命题甲：；命题乙：函数
为一次函数。则有（ ）。
- (A)
甲是乙的充分不必要条件
- (B)
甲是乙的必要不充分条件
- (C)
甲是乙的充分必要条件
- (D)
甲是乙的既不充分也不必要条件
作答
标准答案：B
解析
提示
将数量积展开成关于自变量的多项式。
思路
一次函数不仅要求二次项消失，还要求一次项系数非零。
解答
设 。展开得
因而命题乙等价于
乙必推出甲。反之，取 ，虽有甲，但 ，不是一次函数，故甲不能推出乙。甲是乙的必要不充分条件，选 。
复核
取 ，则 ，确为一次函数且两向量垂直，说明乙存在合法实例。反例已否定充分性，而一般系数式证明必要性，因此 A、C、D 都不成立。
方法总结
判断函数次数要同时检查最高次项消失和剩余最高系数非零。充分必要关系分别验证两个方向，不能只看一个常见例子。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
一次函数不只要求二次项消失，还要一次系数非零；正交等模向量会给常函数，是充分性判断的关键反例。
已记下，谢谢！