2026 年广州预赛

思路

游程指连续相同字符构成的极大段，变化次数等于游程数减一。将三个相同物品放入三个可为空的间隙，等价于非负整数解 $x_1+x_2+x_3=3$，可用隔板法计数。

想法从哪来：黑卡要求两侧差为二，能邻接的数字只能是零和二，数字一无法贴着黑卡。于是先暂时删掉黑卡与所有一，只研究三个零、三个二的二元排列。黑卡只能占据零二发生变化的间隙，且每个间隙至多一张，否则黑卡会相邻。 要塞入四张黑卡，基底必须足够交替，所以无需统计所有二元词，只需统计至少四次变化的几类。按连续相同数字形成的段来数，比逐个列词更清楚。选好四个间隙后，数字一只能分配到其余空隙；这些一可聚在同一空隙，应用可为空的分配公式。最后用删除操作能够唯一逆转构造，证明计数既无重也无漏。

先删去黑色卡片和数字 $1$，只看三个 $0$、三个 $2$ 的二元词。黑色卡片只能放在相邻且 不同的 $0,2$ 之间。选择四个这样的间隙后，再把三个 $1$ 插入其余间隙。