同一骨架 2025 年甘肃预赛 · P006207
看似仍有多个自由变量的条件，都能整理成若干非负项之和恰为零。先证明每项的符号及其零点，再逐项取等，所有变量便被同时锁定；无须求解一般多元方程组。
指数与对数题靠同号因子保证乘积非负；对称式题先还原平方和，再识别平方偏差或均方不等式的等号。
培玉 · 一试
2025 年广东预赛
指数与对数同号乘积方程
F2填空题幂指对
已知
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先由对数确定 ，再把右边拆成 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
所得两项各自非负，只能同时为零。
解答
定义域给出 。原式等价于
对任意 ， 与 同号，故
且等号当且仅当 。所以 ，从而
复核
满足定义域，且原等式两边都为 ；非负性排除了其他解。
方法总结
含 的方程先拆对数，再寻找同号因子的乘积；若若干非负项之和为零，便可逐项取等。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
移项后每项为(e^(t−1)−1)lnt，两因子恒同号且仅t=1同时为零，非负和为零直接锁定x、y。
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