2018 年河北预赛（高三卷） · 第 12 题

解答

两曲线的切线斜率均为正。用m>0表示公切线斜率，则指数曲线的切点横坐标为 $1+\ln m$，切线为 $y=mx-m\ln m$；对数曲线的切点横坐标为 $1/m$，切线为 $y=mx-\ln m-1$。所以公切线恰对应

当 $0<m<1$，$h\prime (m)=\ln m+1-1/m<0$；当m>1时，该导数>0。又 $h(1)=0$，${\lim }_{m\to 0^{+}}h(m)={\lim }_{m\to +\infty }h(m)=+\infty$。连续性和严格单调性说明两侧各有唯一一个根。因此公切线共有 $\boxed{2}$ 条。