2023 年甘肃预赛

解答

抛物线 $x^2=4y$ 的焦点为 $F=(0,1)$。椭圆的焦点为 $(0,\pm \sqrt{a^2-b^2})$，故

从椭圆上一点到焦点 $F$ 的最大距离为 $a+1$，题设给出 $a+1=3$。因此 $a=2,b^2=3$，椭圆方程为

设 $M=(u,v)$。抛物线在参数点 $(2t,t^2)$ 处的切线为

过 $M$ 的两条切线所对应的参数 $t_1,t_2$ 满足

所以

利用 $A=(2t_1,t_1^2),B=(2t_2,t_2^2)$，有

从而

由 $M$ 在椭圆上，

于是

等号在 $v=-2,u=0$ 时取得；此时两条切线参数为 $t=\pm \sqrt{2}$，确为两条不同切线。因此