易混 2026 年广西预赛 · P006000
两题都求对整类数列有效的最佳常数，但最优常数的证据不同。平方型表达式可由合法等差数列在有限下标达到等号；严格的和式上界却可能只被归一化比值在远处逼近，不能强求有限下标取等。
证明界对全部对象成立，与证明常数不能再改进，是两件事。前者的有限等号构造不能照搬到后者的严格不等式中。
培玉 · 一试
2020 年中科大少年班初试 · 第 11 题
F3解答题积分的应用
已知
证明：当时，不等式成立；且当时，不等式不成立。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
平方根严格递增，可用两侧相邻单位区间的积分夹住每一项。
思路
上侧积分给出严格不等式，下侧积分则说明常数不能再减小。
解答
记 ，先设 。对每个 ，平方根的严格递增性给
逐项相加，得到
故 时，题设严格不等式对每个正整数 成立。若约定 ，则 的空和为 ，同样满足该不等式。
再将前述夹界除以正数 ，有
两侧都趋于 ，所以中间比值也趋于 。任给 ，充分大的正整数 都满足
于是该 下 不成立。综上，所求最佳常数为
复核
每个单位区间上除端点外都存在严格大小关系，因此积分比较严格成立；这保证最佳常数虽是比值的极限，仍满足所有有限下标的严格上界。要否定更小常数，选择充分大的下标即可，不要求某个有限下标处达到比值 。
方法总结
递增函数的离散和可用左右相邻区间的积分夹住。最佳统一常数要分两步：先对每个有限下标给严格界，再证明相应比值逼近该界以排除更小常数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
无提示须自主选取相邻单位区间的上下积分比较，并将归一化比值的极限转成任意更小常数最终失败；给定常数不提示证明构造。
联系 · 2 条
易混 2024 年浙江预赛 · P006613
两题都把离散和与积分联系起来，但一个为每个权找到精确积分表示，再把有限组合数和还原成整幂；另一个只利用单调性，用相邻单位区间积分夹住原和。恒等与上下界的逻辑角色不能互换。
前题求的是精确有限和，交换操作必须对应同一积分核；后题求最佳统一常数，还需严格有限界与极限逼近分别证明。
已记下，谢谢！