2008 年湖北预赛 · 第 11 题

解答

设 $P=(x,y)$，椭圆切线为 $xX/4+yY/3=1$。若 $Q=(u,v)$ 是圆在两交点处的切线交点，则圆的接触弦为 $uX+vY=12$。比较系数，得到 $u=3x,v=4y$，故完整轨迹是 $\boxed{u^2/36+v^2/48=1}$。第一象限时三角形面积为 $|xv-yu|/2=xy/2$。由 $x^2/4+y^2/3=1$ 和基本不等式，$xy\le \sqrt{3}$，等号在 $x=\sqrt{2},y=\sqrt{3/2}$，所以 $\boxed{S_{\max }=\sqrt{3}/2}$。