2015 年陕西预赛 · 第 5 题

解答

设所用焦点为 $(\pm c,0)$，圆心为 $M=(\pm c,y)$，半径 $r=|y|$。圆在纵轴上的弦 $PQ$ 与两条半径构成正三角形，故 $PQ=r$。圆心到弦的距离为 $c$，由半弦直角三角形得 $c^2=3r^2/4$。另一方面，双曲线在横坐标 $\pm c$ 处给 $r^2=b^4/a^2$。记 $E=e^2>1$，于是 $3(E-1{)}^2=4E$，解得 $E=3$ 或 $1/3$。取双曲线允许的根，得 $\boxed{e=\sqrt{3}}$。