培玉 · 一试
2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题
F3填空题组合计数综合
将 排列为 ，使得 个三位数 之和等于 ，则不同的排列方法数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先确定百位、十位、个位三个数字组的和，再计算各组内部的排列。
解答
令 ，，。由条件，
第二式模 给出 ，又 ，故 。于是 ，，解得 。
和为 的三元数字集与能和它配合、和为 的三元数字集如下；两组必须不交。
为说明列举穷尽，把每个三元组按从小到大排列。和为 时最小数只能为 ，逐一配出上表左列；和为 时最小数只能为 ，候选为 ，排除与左列相交的组即可得到上表。
共有 种组的搭配，剩余三个数字确定个位组。三个组各自有 种顺序，因此所求排列数为
复核
每个排列唯一确定百位、十位、个位的三个有序组，计数没有把交换三行后的排列误认为相同。确定 所需的是模 余 ，仅说 为 的倍数不足以推出 。
方法总结
数位排列受加法条件约束时，先用数位和、同余和范围限制确定各列总和，再区分数字分组与组内排列。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须先用位值和模10约束确定三个数字组的和，再穷尽不交搭配并区分组内排列。
已记下，谢谢！