2023 年浙江预赛

解答

记 $e_1=a+b+c,e_2=ab+bc+ca,e_3=abc$。由平方和得 $e_1=3,e_2=(3^2-3)/2=3$。牛顿恒等式给出 $6=e_1\cdot 3-e_2\cdot 3+3e_3$，故 $e_3=2$。因此 $a,b,c$ 是多项式 $X^3-3X^2+3X-2=(X-1{)}^3-1$ 的三个根。于是 $a-1,b-1,c-1$ 恰为三个三次单位根。因 $2023\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，所求等于它们的和，即 $\boxed{0}$。