同一骨架 2026 年江西预赛 · P006078
两题都把立方体顶点编码为零与一组成的坐标，点间距离由不同坐标的位置决定。按坐标和的奇偶分组后，可直接识别一批等距三点组，再处理题目额外加入或转换的对象。
一题加入立方体中心并判断锐角，另一题先把八面体面心转成顶点。
培玉 · 一试
2025 年广东预赛
正八面体面心正三角形概率
F3填空题概率
随机选择正八面体的三个面，这三个面的中心构成的三角形是正三角形的概率为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
正八面体八个面的中心是一个正方体的八个顶点，问题转化为数正方体顶点所成的正三角形。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
把正方体顶点记成三位 -- 向量。两顶点距离只由它们不同的坐标个数决定。 三个顶点构成正三角形时，三对顶点必须各有两个坐标不同。
按三个坐标之和的奇偶性，八个顶点分成两个四元组；每个四元组中任意两点恰有两个 坐标不同，故任取三点都构成正三角形。反之，彼此距离相等的三个不同顶点只能属于 同一个这样的四元组。因此有利选法为
全部选法为 ，故所求概率为
复核
正方体顶点间不可能出现三对汉明距离均为 或均为 ，所以没有遗漏其他边长的正三角形。
方法总结
正八面体面心与正方体顶点对偶。给立方体顶点作二进制编码后，欧氏距离转化为汉明距离， 奇偶分类可直接识别正四面体顶点组。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先识别八个面心为正方体顶点，再证明等边三点恰同属一个坐标奇偶四元组，按两个正四面体计数。
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