2013 年安徽预赛 · 第 10 题

解答

令 $h(x)=f(x)-x^2$。代入方程得到 $h(x+y)=h(x)+h(y)$，而题给界成为 $|h(x)|\le \sqrt{|x|}$。对任意固定实数 $x$ 和正整数 $n$，有 $h(nx)=nh(x)$，因而 $n|h(x)|\le \sqrt{n|x|}$，即 $|h(x)|\le \sqrt{|x|}/\sqrt{n}$。令 $n\to \infty$ 得 $h(x)=0$。因此唯一可能是 $\boxed{f(x)=x^2(x\in \mathbb{R})}$。将它代回，函数方程成立且上下界显然成立，所以这也是全部解。