2025 年内蒙古预赛

思路

可逆线性变换保持向量分点比，面积按行列式绝对值缩放。辅助圆可以自由旋转；凸四边形的对角线相交时，面积等于两对角线叉积绝对值的一半。

想法从哪来：椭圆中的共线、分点比和面积都有良好的线性变换性质，先沿半轴缩放成圆，可以把一个任意椭圆点旋转到横轴端点。缩放后再旋转是在辅助圆平面进行，不能把原椭圆直接当成旋转对称图形。 定比分点条件给圆上两个端点的线性关系，内点只用它在半径上的位置参数描述。一个端点取圆周角参数，另一端点的单位模条件便能求出余弦与位置参数的关系。四边形的两对角线在内点相交，面积用叉积只涉及正弦，优化遂变成让余弦尽量小。由均值不等式求候选位置后，还要检查它位于线段内部、两端点不同，并乘回面积倍率。

先用线性伸缩把椭圆化为单位圆。线性变换保持共线、分点比，并把所有面积统一乘以常数， 所以可在圆上旋转到 $A=(1,0)$。定比分点条件给出两个圆上点的向量线性关系， 再用四边形两条对角线的叉积表示面积。